Neljän ympyrän ongelman ratkaisu ei ole vaikea. Tehtävänä on laskea kolmen värillisen ympyrän väliin jäävän pienen ympyrän säteen pituus (kuva 1).
Isompien ympyröiden säteiden pituudet ovat 1, 2 ja 3 yksikköä. Tämän lisäksi tavoitteena on laskea värillisten ympyröiden ulkopuolelle jäävän ison ympyrän säteen pituus. Iso ympyrä koskettaa jokaista värillistä ympyrää. Ratkaisemista helpottaa, kun kuvaan piirtää ensinnäkin ison tangeeraavan ympyrän, jolla voi hahmottaa laskettavan ympyrän kokoluokkaa (kuva 2). Pienen ympyrän säteen laskemista helpottaa puolestaan suorakulmainen kolmio, jonka kärjet ovat värillisten ympyröiden keskipisteissä. Kolmion kateettien pituudet ovat 3 ja 4, ja hypotenuusan pituus on 5.
Suorakulmainen kolmio jaetaan seuraavaksi pienempiin kolmioihin, joiden yksi kärki sijaitsee pienen ympyrän keskipisteessä (kuva 3). Kuvaan muodostuu lopulta neljä pienempää suorakulmaista kolmiota, joista kaksi on samansuuruista. Kuvasta alkaa samalla hahmottua tarvittavat laskukaavat, missä r on kysytty pienen ympyrän säde.
Vanhalla tutulla Pythagoraan lauseella eli kaavalla a2 + b2 = c2 muodostetaan kustakin kolmesta säteestä seuraavat yhtälöt:
x2 + y2 = (1 + r)2
x2 + (3 - y)2 = (2 + r)2
y2 + (4 - x)2 = (3 + r)2Aloitetaan ratkaiseminen yhdistämällä kaksi ensimmäistä kaavaa esimerkiksi yhtälöparina ja laskemalla suluissa olevien lukujen neliöt:
x2 + y2 = 1 + 2r + r2
x2 + 9 - 6y + y2 = 4 + 4r + r2Vaihdetaan alemman kaavan etumerkki:
x2 + y2 = 1 + 2r + r2
-x2 - 9 + 6y - y2 = -4 - 4r - r2Lasketaan yhtälöt yhteen:
-9 + 6y = -3 - 2rSiirretään yhtälön vasemmalla puolella oleva vakio oikealle puolelle:
6y = 6 - 2rLasketaan y:n arvo jakamalla yhtälö kuudella:
6 - 2r
y = ------
6Supistamalla yhtälöä kahdella päädytään ratkaisuun:
y = (3 - r) / 3Jatketaan ratkaisemista yhdistämällä ensimmäinen ja kolmas kaava yhtälöparilla ja laskemalla jälleen suluissa olevien lukujen neliöt:
x2 + y2 = 1 + 2r + r2
16 - 8x + x2 + y2 = 9 + 6r + r2Vaihdetaan alemman kaavan etumerkki:
x2 + y2 = 1 + 2r + r2
-16 + 8x - x2 - y2 = -9 - 6r - r2Lasketaan yhtälöt yhteen:
-16 + 8x = -8 - 4rSiirretään yhtälön vasemmalla puolella oleva vakio oikealle puolelle:
8x = 8 - 4rLasketaan x:n arvo jakamalla yhtälö kahdeksalla:
8 - 4r
x = ------
8Supistamalla yhtälöä neljällä päädytään ratkaisuun:
x = (2 - r) / 2Käytetään ensimmäistä kaavaa ja sijoitetaan ratkaisut siihen:
((2 - r) / 2)2 + ((3 - r) / 3)2 = 1 + 2r + r2Korotetaan neliöt:
4 - 4r + r2 9 - 6r + r2
----------- + ----------- = 1 + 2r + r2
4 9Lavennetaan vasemman puolen jakolaskut yhteiselle nimittäjälle:
36 - 36r + 9r2 + 36 - 24r + 4r2
------------------------------- = r2 + 2r + 1
36Kerrotaan yhtälö luvulla 36 ja siirretään kaikki termit yhtäläisyysmerkin vasemmalle puolelle:
36 - 36r + 9r2 + 36 - 24r + 4r2 - 36r2 - 72r - 36 = 0Lasketaan laskutoimitukset ja vaihdetaan etumerkkiä, jonka jälkeen päädytään tuttuun toisen asteen yhtälöön:
23r2 + 132r - 36 = 0Toisen asteen yhtälön ratkaisut saadaan kaavalla:
-b ± √b2 - 4ac
x = ----------------
2aSijoitetaan edellä saatu yhtälö kaavaan:
-132 ± √1322 - 4 ∙ 23 ∙ (-36)
r = -------------------------------
2 ∙ 23Lasketaan laskutoimitukset:
-132 ± √17424 + 3312 -132 ± √20736
r = ---------------------- = -------------
46 46Ratkaistaan säteen r arvot:
-132 + 144 12 6
r1 = ---------- = -- = --
46 46 23ja
-132 - 144 276
r2 = ---------- = - --- = -6
46 46Negatiivinen säteen arvo tarkoittaa ulkopuolella ja vastaavasti positiivinen arvo sisäpuolella olevaa ympyrää. Ympyröiden säteet ovat siis r1 = 6/23 ja r2 = 6, missä r1 on pienemmän, värillisten ympyröiden keskelle jäävän ympyrän säde ja r2 on uloimman ympyrän säde. Kuten edellä kuvatuista laskutoimituksista voi päätellä, kyseessä on hyvin mekaaninen ratkaisu, mutta mainiota aivojumppaa koulutyön ohessa.