Viikko sitten esittelin mielenkiintoisen matemaattisen pulman. Tehtävänä oli laskea oheisessa kuvassa 1 olevan neliön sisällä risteävien kaarien muodostaman kuvion pinta-ala. Neliön sivun pituus on 10. Ongelman voi ratkaista usealla tavalla kuten esimerkiksi geometriaa ja trigonometriaa käyttäen tai integraalilaskennalla. Oikein laskettuna kaikki menetelmät päätyvät samaan lopputulokseen. Esittelen oman ratkaisuni perinteisellä koulumatematiikalla, jossa hyödynnän geometrian tuttuja laskusääntöjä. Menetelmä ei ole ehkä sieltä yksinkertaisemmasta päästä, mutta on kuitenkin helppo ymmärtää lyhyenkin matematiikan oppimäärällä.

Tehtävän ratkaisemista helpottaa kuvion jakaminen osiin. Kuvassa 2 olen korostanut kaksi soikeahkoa kuviota.

Kuva 3 näyttää tarkemmin, minkälaisesta kuviosta on kysymys. Olen myös yksinkertaistanut kuvaa poistamalla siitä havainnollistamisen kannalta epäolennaiset kuviot. Jäljelle jää sininen kaarista muodostuva kuvio.

Kuva 4 näyttää toisen kaarista muodostuvan kuvion, jonka olen värittänyt keltaiseksi.

Aloitan tehtävän ratkaisemisen toteamalla, että punainen kuvio muodostuu itse asiassa kahden kuvion erotuksesta. Kuva 5 havainnollistaa, miten punainen kuvio muodostuu kahden soikeahkon kuvion leikkauksesta. Näin ollen riittää, kun laskee sinisen kuvion pinta-alan ja vähentää siitä keltaisen kuvion pinta-alan.

Lasken ensimmäiseksi keltaisen kuvion pinta-alan. Jaan kuvion kahteen osaan piirtämällä suoran kuvion yläkärjestä sen alakärkeen. Näin syntyy segmentti, joka on puolet keltaisen kuvion pinta-alasta. Segmentin pinta-alan laskeminen onkin sitten helppoa koulun matematiikan tunnilta tutulla kaavalla. Pinta-alan laskemiseksi tarvitaan sektorin sekä keskuskolmion pinta-alat, joten olen lisännyt kuvaan 6 myös vihreän suorakulmaisen kolmion. Kolmion vasen kärki on samalla sen alla olevan keltaisen sektorin kärki. Sektorin pinta-ala voidaan päätellä kuvasta, ja se on neljäsosa ympyrän pinta-alasta. Olen merkinnyt kuvaan myös mitat helpottamaan laskemista. Laskutoimituksissa käytän radiaaneja.

Sektorin pinta-ala lasketaan sijoittamalla arvot ympyrän pinta-alan kaavaan ja jakamalla tulos neljällä.

     π5²
As = ---
      4

Keskuskolmion pinta-ala on kuvasta päätellen puolet neliön pinta-alasta ja lasketaan niin ikään geometriasta tutulla kolmion pinta-alan kaavalla.

     5x5
Ak = ---
      2

Segmentin pinta-ala on siis:

    25π   25
A = --- - --
     4    2

Koska keltainen kuvio muodostuu kahdesta segmentistä, joista toinen on peilikuva, kerrotaan segmentin pinta-ala kahdella.

A = 12,5π - 25

Seuraavaksi lasketaan sinisen kuvion pinta-ala. Kuvassa 7 kuvio on jaettu kahteen osaan piirtämällä suora yläkärjestä kuvion alakärkeen. Kuvasta voidaan jälleen päätellä, että sininen kuvio muodostuu itse asiassa kahdesta pienemmästä segmentistä, jotka tosin eivät ole yhtä suuria.

Aloitan laskemisen ylemmän segmentin pinta-alasta. Laskutoimitusten helpottamiseksi olen piirtänyt kuvaan 8 kaksi suorakulmaista kolmiota sekä kuvioiden mittoja. Olkoon kolmioiden kulma α.

Kolmioiden alle muodostuu sininen sektori, jonka sivujen pituus on 10 ja kulma 2α. Segmentin pinta-ala saadaan vähentämällä sektorin pinta-alasta keskuskolmion ala. Sektorin pinta-ala on

     10² x 2α
As = --------
         2

Vastaavasti kahden suorakulmaisen kolmion muodostaman isomman kolmion pinta-ala saadaan sijoittamalla mitat kolmion pinta-alan kaavaan

     ac sin(α)
Ak = ---------
         2

missä sivujen a ja c pituus on 10, joten

     10² sin(2α)
Ak = -----------
          2

Segmentin pinta-ala saadaan vähennyslaskulla

    10² x 2α   10² sin(2α)
A = -------- - -----------
       2            2

Suorakulmaisen kolmion kulma α saadaan trigonometrian avulla

α = tan-1(5/10) = tan-1(0,5)

Aiemmin laskettu sin(2α) voidaan ilmaista muodossa

sin(2α) = 2 sin α cos α

Kulma saadaan selville laskemalla suorakulmaisen kolmion hypotenuusa

h = √(10² + 5²) = 5√5

Sijoitetaan hypotenuusa edellä olleeseen laskutoimitukseen

              5   10     4
sin(2α) = 2(---)(---) = -
             5√5  5√5    5

Sijoitetaan lasketut kulmat sektorin ja keskuskolmion lausekkeeseen

    10² x 2 tan-1(0,5)   10²   4
A = ----------------- - --- x -
            2             2    5
  = 100tan-1(0,5)-40

Toinen osa laskutoimitusta pitää sisällään alemman segmentin pinta-alan laskemisen (kuva 9). Ala lasketaan pitkälti samalla menetelmällä kuin ylempikin segmentti.

Kuvassa on jälleen sininen sektori sekä sen päällä vihreä kolmio. Sektorin keskuspiste on yhteinen kolmion kärjen kanssa. Keskuspiste muodostaa myös kulman. Jaetaan kulma kahteen osaan ja merkitään se taas α. Kulman arvo on

π
- - α
2

Näin ollen sektorin ala on

     5²
As = -- x (π-2α)
     2

ja kolmion ala on

     5²
Ak = -- x sin(π-2α)
     2

Vähentämällä sektorin alasta kolmion ala saadaan segmentin ala

    5²             5²
A = -- x (π-2α) - -- sin(π-2α)
    2              2

Kulma α laskettiin jo edellä, joten se voidaan nyt korvata aiemmin saaduilla arvoilla

     5²                     5²   4
Ag = -- x (π-2tan-1(0,5)) - -- x --
     2                      2    5
   = 12,5π - 25tan-1(0,5)-10

Lopuksi lasketaan yhteen nämä kaksi segmenttiä, jolloin saadaan koko alkuperäisen kuvion ala

A = (100tan-1(0,5)-40)+(12,5π-25tan-1(0,5)-10)
  = 75tan-1(0,5)-50+12,5π

Nyt palataan ensimmäiseen vaiheeseen, jossa pyydetyn punaisen kuvion pinta-ala saadaan vähentämällä sinisen kuvion pinta-alasta keltaisen kuvion pinta-ala.

Ap = (75tan-1(0,5)-50+12,5π)-(12,5π-25)
   = 75tan-1(0,5)-25
   ≈ 9,77

Kysytyn punaisen kuvion pinta-ala on siis 9,77. Laskutoimitus on ehkä hieman monivaiheinen, mutta osoittaa, että alkujaan mahdottomalta näyttänyt tehtävä on mahdollista ratkaista koulun matematiikan opeilla.