Tennispallot lieriössä - osa 2

Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten lyhyen matematiikan yhtenä tehtävänä oli laskea tennispallojen ja niiden lieriönmuotoisen pakkauksen tilavuuksien suhde. Ellen aivan väärin muista, niin taisin itsekin aikoinaan laskeskella tätä tehtävää, joka on itse asiassa melko helppo. Ratkaisua varten riittää verestää muistiinsa pallon tilavuuden ja ympyrän alan kaavat. Pallon tilavuus lasketaan kaavalla:

    4
V = - πr³
    3

Ympyrälieriön tilavuuden laskemisessa hyödynnetään ympyrän alan kaavaa, joka kerrotaan lieriön korkeudella.

V = πr²h

Neljän pallon yhteinen tilavuus on:

    4
4 • - πr³
    3

Kaavassa oleva kertoja voidaan esittää myös murtolukuna, jolloin kaavan laskeminen muodostuu ymmärrettävämmäksi.

4   4
- • - πr³
1   3

Suoritetaan osoittajassa ja nimittäjässä olevien lukujen kertolaskut.

4 • 4       16
----- πr³ = -- πr³
1 • 3       3

Tehtävässä lieriön säde on sama kuin pallon säde. Korkeus on puolestaan neljän pallon halkaisija. Pallon halkaisija muodostuu kahdesta säteestä r. Näin ollen lieriön korkeus h on 4 • 2 • r eli 8r. Lieriön tilavuus on

πr² • 8r

Suoritetaan kaavan kertolasku, jossa käytännössä säteet r kerrotaan keskenään.

8πr³

Pallojen ja pakkauksen tilavuuksien suhde lasketaan kaavalla

 pallojen tilavuus
-------------------
pakkauksen tilavuus

Sijoittamalla tähän aiemmin muodostetut tilavuuksien kaavat alkaa vastaus jo hahmottua.

16
-- πr³
3
------
 8πr³

Osoittajassa oleva murtoluku voidaan esittää myös murtolukuna, jolloin sen jakajaksi tulee 1.

16
--
3    πr³
-- • ----
1    8πr³

Murtoluku voidaan tuoda kaavan alkuun. Koska murtoluku on kaavassa kertojana, säilytetään kertomerkki

16   πr³
-- • ----
3    8πr³

Muodostunut kaava voidaan nyt supistaa poistamalla osoittajassa ja nimittäjässä olevat yhteiset tekijät.

16   1
-- • -
3    8

Lopuksi lasketaan jäljelle jäänyt kertolasku.

16   2
-- = -
24   3

Vastaus: pallojen tilavuuksien suhde pakkauksen tilavuuteen on 2/3.

Julkaistu torstaina 29.10.2015 klo 17:36 avainsanoilla harrastukset, matematiikka ja pulmat.

Edellinen
Tennispallot lieriössä - osa 1
Seuraava
GIF-tanssiaiset
Evästeiden käyttö

Käytän sivustollani evästeitä tarjotakseni parhaimman mahdollisen lukukokemuksen blogini lukijoille. Jos jatkat sivustoni käyttöä, oletan, että hyväksyt evästeiden käytön sivustollani.

Lisätietoja evästeiden käytöstä