Eilisessä tehtävässä tuli selvittää neljän ympyrän saartaman neliön pinta-ala. Tehtävä on helppo ratkaista koulun matematiikan opeilla, ja ratkaisuun pääsee useammallakin tavalla. Oheisessa kuvassa ison neliön sisään on piirretty neljä ympyrää, jotka tangeeraavat toisiaan ja suurta neliötä. Näiden ympyröiden keskelle on piirretty neliö, jota on kierretty 45 astetta. Ympyrän säde r on 1. Aloitetaan pienen neliön pinta-alan laskeminen merkitsemällä kuvaan ympyröiden säteet r.
Säteet muodostavat suorakulmaisen kolmion, jonka hypotenuusa h kulkee pienen neliön kautta. Samalla havaitaan, että hypotenuusa muodostaa neliön poikki kulkevan viivan, joka merkitään kuvaan kirjaimella x. Neliön sivun pituus on siis x ja pinta-ala x2. Sivun pituus x puolestaan on hypotenuusan pituus, josta vähennetään kahden ympyrän säteet 2r. Hypotenuusan pituus saadaan laskemalla suorakulmaisen kolmion sivujen neliöistä. Sivujen pituudet saadaan ympyröiden säteistä Pythagoraan lauseella.
(r + r)2 + (r + r)2 = 22 + 22 = h2 2(22) = h2 h = 2√2
Vähennetään hypotenuusasta kahden säteen pituudet, jolloin saadaan x.
x = 2√2 - 2
Pienen neliön pinta-ala saadaan pituuden x neliöstä.
x2 = (2√2 - 2)2 x2 = (2√2 - 2)(2√2 - 2) x2 = 4(√2)2 - 4√2 - 4√2 - 4 x2 = 12 - 8√2 ≈ 0,686.
Vastaus: pienen neliön pinta ala on noin 0,686.