Kolmen ympyrän ja viivan ongelmassa tehtävänä on lausua ympyrän C säde ympyröiden A ja B säteiden funktiona. Tehtävän ratkominen alkaa laskemista helpottavien pisteiden määräämisellä. Olkoon ympyrän A keskipiste u, ympyrän B keskipiste v ja ympyrän C keskipiste w. Merkitään ympyrän A ja viivan tangenttipistettä kirjaimella x, ympyrän B ja viivan tangenttipistettä kirjaimella y sekä ympyrän C ja viivan tangenttipistettä kirjaimella z. Lisäksi merkitään ympyröiden säteet. Ympyrän A säde on a, ympyrän B säde on b ja ympyrän C säde on c (kuva 1).
Muodostetaan puolisuunnikas yhdistämällä pisteet uwzx. Puolisuunnikkaan sivujen pituudet ovat a, a + c, c ja 2√ac. Sivu xz on suorakulmaisen kolmion kateetti, joka ratkeaa Pythagoraan lauseella. Vastaavalla tavalla lasketaan puolisuunnikkaan vyzw sivu zy, jonka pituudeksi saadaan 2√bc. Edelleen pisteistä uvyx muodostuu puolisuunnikas, jonka sivun xy pituus on 2√ab. Sivujen xz ja zy summa on yhtä suuri kuin sivun xy pituus (kuva 2).
Lasketaan ensin sivun xz pituus Pythagoraan lauseella eli kaavalla a² + b² = c². Laskutoimitusta varten tarvitaan suorakulmainen kolmio, joka löytyy kuviosta (kuva 3). Kolmion kärkipisteet ovat u, c ja p. Pisteen p etäisyys keskipisteestä u on säteiden a ja c erotus eli kateetin up pituus on a - c.
Merkitään tuntematonta kateettia pc kirjaimella d ja lasketaan sen pituus muodostamalla yhtälö, kun tunnetaan hypotenuusan pituus a + c:
d² + (a - c)² = (a + c)²Siirretään yhtälön vasemmalla puolella olevat sulut oikealle puolelle, korotetaan neliöt ja lasketaan laskutoimitukset:
d² = (a + c)² - (a - c)²
d² = a² + c² + 2ac - a² - c² + 2ac
d² = 4ac
d = 2√acSivujen zy ja xy pituudet lasketaan vastaavalla tavalla, ja koska d = pc = xz, niin
xz + zy = xySijoitetaan laskutoimitusten tulokset edellä olevaan yhtälöön:
2√ac + 2√bc = 2√abTästä eteenpäin säteen c ratkaiseminen on mekaanista matematiikkaa. Jaetaan yhtälön molemmat puolet kahdella, jolloin päästään eroon vakiokertoimista:
√ac + √bc = √abSäde c on yhteinen tekijä yhtälön vasemman puolen termeillä, joten siirretään se kertoimeksi:
√c • (√a + √b) = √abJaetaan yhtälö vasemman puolen kerrottavalla:
√ab
√c = ---------
(√a + √b)Kerrotaan yhtälö itsellään eli korotetaan molemmat puolet toiseen potenssiin, jolloin päästään eroon monista neliöjuurista ja lopputulokseksi jää tehtävässä kysytty funktio:
ab
c = ----------------
(a + 2√ab + b)Tehtävänannossa olevan ympyrän C säde c voidaan siis esittää ympyröiden A ja B säteiden funktiona:
c = ab / (2√ab + a + b)Kuten edellä kuvatuista laskutoimituksista voi päätellä, kyseessä ei ole liian haastava tehtävä. Geometrian tuntemuksesta on luonnollisesti apua.