Yhteistyötä - osa 2

Eilisessä matematiikkapähkinässä kolme kaverusta työskentelevät yhdessä. Tehtävänannossa Liisa ja Pekka saavat erään työn valmiiksi kahdessa tunnissa. Liisa ja Kalle saavat saman työn valmiiksi kolmessa tunnissa. Pekka ja Kalle saavat saman työn valmiiksi neljässä tunnissa. Tehtävänä oli ratkaista, kuinka kauan aikaa kuluu, jos Liisa, Pekka ja Kalle työskentelevät yhdessä?

Aloitetaan pulman ratkominen purkamalla tehtävänanto yhtälöiksi. Koska Liisa ja Pekka saavat erään työn valmiiksi kahdessa tunnissa, voidaan tämä esittää kunkin henkilön suhteellisina osuuksina työn määrästä oheisella yhtälöllä.

(%-osuus työstä, jonka Liisa tekee 2 tunnissa) +
(%-osuus työstä, jonka Pekka tekee 2 tunnissa) = 100% = 1

Tässä yhtälössä kumpikin henkilö tekee tietyn osuuden työstä. Koko työ eli molempien henkilöiden työpanos on yhteensä 100%, mutta henkilöiden keskinäiset osuudet voivat vaihdella, esimerkiksi Liisa 40% ja Pekka 60%. Toisaalta näillä henkilökohtaisilla osuuksilla ei ole merkitystä tehtävän ratkaisemisessa. Koska sekä Liisa että Pekka työskentelevät molemmat kahden tunnin ajan, voidaan 2 tuntia siirtää kertoimeksi:

2(%-osuus työstä, jonka Liisa tekee 1 tunnissa) +
2(%-osuus työstä, jonka Pekka tekee 1 tunnissa) = 100% = 1

Merkitään Liisan osuus yhtälössä kirjaimella L ja Pekan osuus kirjaimella P.

L = 2(%-osuus työstä, jonka Liisa tekee 1 tunnissa)
P = 2(%-osuus työstä, jonka Pekka tekee 1 tunnissa)

Yksinkertaistetaan yhtälö muotoon:

2L + 2P = 1

ja siirretään kertoimet yhteiseksi tekijäksi:

2(L + P) = 1

Muodostetaan tehtävänannon lopuistakin määritelmistä yhtälöt. Koska Liisa ja Kalle saavat saman työn valmiiksi kolmessa tunnissa, esitetään tämä yhtälönä edelliseen tapaan:

(%-osuus työstä, jonka Liisa tekee 3 tunnissa) +
(%-osuus työstä, jonka Kalle tekee 3 tunnissa) = 100% = 1

3(%-osuus työstä, jonka Liisa tekee 1 tunnissa) +
3(%-osuus työstä, jonka Kalle tekee 1 tunnissa) = 100% = 1

L = 3(%-osuus työstä, jonka Liisa tekee 1 tunnissa)
K = 3(%-osuus työstä, jonka Kalle tekee 1 tunnissa)

3L + 3K = 1
3(L + K) = 1

Vastaavasti, koska Pekka ja Kalle saavat saman työn valmiiksi neljässä tunnissa, on tämä esitettävissä yhtälönä:

(%-osuus työstä, jonka Pekka tekee 4 tunnissa) +
(%-osuus työstä, jonka Kalle tekee 4 tunnissa) = 100% = 1

4(%-osuus työstä, jonka Pekka tekee 1 tunnissa) +
4(%-osuus työstä, jonka Kalle tekee 1 tunnissa) = 100% = 1

P = 4(%-osuus työstä, jonka Pekka tekee 1 tunnissa)
K = 4(%-osuus työstä, jonka Kalle tekee 1 tunnissa)

4P + 4K = 1
4(P + K) = 1

Tehtävänannon kysymys: "Kuinka kauan aikaa kuluu, jos Liisa, Pekka ja Kalle työskentelevät yhdessä?", voidaan esittää yhtälönä:

t(L + P + K) = 1

missä t on tuntematon aika, joka pitää ratkaista. Tarkastellaan edellä muodostettuja yhtälöitä.

2(L + P) = 1
3(L + K) = 1
4(P + K) = 1

Havaitaan, että yhtälöissä oleville kertoimille löytyy yhteinen kerroin, joka on 12. Luvun 12 pienimmät yhteiset tekijät ovat nimittäin 2, 3 ja 4. Kerrotaan yhtälöt siten, että kertoimiksi tulee 12:

12(L + P) = 6
12(L + K) = 4
12(P + K) = 3

Lasketaan yhtälöt yhteen:

12L + 12P + 12L + 12K + 12P + 12K = 6 + 4 + 3
12L + 12L + 12P + 12P + 12K + 12K = 6 + 4 + 3
24L + 24P + 24K = 13
24(L + P + K) = 13

Supistetaan yhtälö jakamalla se luvulla 13:

(24/13) (L + P + K) = 1

Kertoimen t arvoksi saadaan 24/13 tuntia ja samalla saadaan vastaus: Kun Liisa, Pekka ja Kalle työskentelevät yhdessä, tulee työ valmiiksi noin 1 tunnissa ja 51 minuutissa.

Julkaistu perjantaina 14.8. klo 15:02 avainsanoilla matematiikka ja pulmat.

Edellinen
Yhteistyötä - osa 1
Seuraava
Lahjoittajapäivä
Evästeiden käyttö

Käytän sivustollani evästeitä tarjotakseni parhaimman mahdollisen lukukokemuksen blogini lukijoille. Jos jatkat sivustoni käyttöä, oletan, että hyväksyt evästeiden käytön sivustollani.

Lisätietoja evästeiden käytöstä