Trigonometria on eräs matematiikan perusalueita. Sana juontaa juurensa kreikan kielen sanoista trigonon (kolmio) ja metria (mittaaminen). Tämän alun perin maanmittauksen, tähtitieteen ja suunnistamisen apuvälineen perustehtävänä on selvittää kolmion sivujen ja kulmien välistä riippuvuutta. Vaikka tähtitieteilijät kehittivät jo keskiajalla niin sanotun pallotrigonometrian pallon pinnalle piirrettyjen kolmioiden käsittelemiseksi, rajoittuu koulumatematiikka perinteisiin tasokuvioihin, joita tutkitaan trigonometristen funktioiden ominaisuuksilla. Tämän viikon tehtävä jatkaa geometristen haasteiden parissa. Eräs laiva oli matkalla Hankoon. Laivan ohittaessa Jussarön saaren siellä olleen majakan valo näkyi 10°:n korkeuskulmassa. Viisi minuuttia myöhemmin valo näkyi 35°:n korkeuskulmassa. Mikä oli laivan nopeus, kun majakka sijaitsi 287 metrin korkeudella vedenpinnasta (Jussarön majakan valon todellinen korkeus on 30 m)? Jos haluat vastata tehtävään, voit kirjoittaa kommentin, jossa ehdotat ratkaisua ja halutessasi voit myös perustella sitä. Kerron vastauksen ensi perjantain tehtävän yhteydessä. Siihen asti toivottelen mielenkiintoisia ratkaisuhetkiä.

Vastaus viime viikon pulmaan

Viikon takainen tehtävä 39/2008 sai aivonystyrät liikkeelle. Haasteelliselta näyttävän tehtävän ratkaisu löytyy kuitenkin lopulta, vaikka dilemmaa voi joutua pyörittelemään jonkin aikaa. Helpoimmin alkuun pääsee piirtämällä pienen ympyrän säde (r) kohtisuoraan tasasivuisen kolmion sivua vastaan, jolloin syntyy suora kulma. Suuremman ympyrän säde (r’) piirretään kolmion kulmaan, jolloin säteistä ja puolikkaasta kolmion sivusta alkaa vähitellen hahmottua suorakulmainen kolmio. Tästä eteenpäin ratkaisu onkin enää vain yhden trigonometrisen funktion takana, sillä suorakulmainen kolmio muodostaa ympyrän keskipisteessä 60 asteen kulman. Merkitään

           r
cos 60° = ---
           r’

ja saadaan tulokseksi 0,5. Isomman ympyrän säde on siis kaksi kertaa niin pitkä kuin pienemmän ympyrän säde. Koulumatematiikasta tutusta ympyrän pinta-alan kaavasta piit ja säteiden neliöt supistuvat pois

π(2r)2   π4r2
----- = ----- = 4
 πr2     πr2

jolloin lopputulokseksi jää 4 eli ison ympyrän pinta-ala on neljä kertaa pienemmän ympyrän pinta-alaa suurempi.