Neliön ala - osa 2

Eilisessä tehtävässä tavoitteena oli ratkaista kahden ympyrän väliin jäävän neliön pinta-ala, kuten oheisesta kuvasta käy ilmi.

Aloitetaan merkitsemällä kuvioon muutamia apuviivoja ja merkintöjä. Merkitään neliön tuntemattoman sivun pituus kirjaimella x ja piirretään ympyrään kaksi sädettä. Neliön ala on x2. Piirretään viiva neliön vasemmasta yläkulmasta ympyrän pystysuoraan säteeseen ja merkitään viivan pituus kirjaimella y. Pystysuoran säteen pituus on 5 cm ja y-viivan katkomat säteen osat ovat pituuksiltaan x ja 5 - x. Säteet ja y-viiva muodostavat nyt suorakulmaisen kolmion ympyrän sisälle.

Ratkaistaan y tutulla kaavalla a2 + b2 = c2. Sijoitetaan tunnetut luvut kaavaan ja lasketaan:

(5 - x)2 + y2 = 52
25 - 10x + x2 + y2 = 25

Kerrotaan yhtälö -1:

-25 + 10x - x2 - y2 = -25

Siirretään yhtäläisyysmerkin vasemman puolen arvot y-arvoa lukuun ottamatta oikealle puolelle. Kerrotaan yhtälö jälleen -1 ja lasketaan:

-y2 = -25 + 25 - 10x - x2
y2 = 10x - x2

Otetaan yhtälöstä neliöjuuri:

√y2 = √(10x - x2)
y = √(10x - x2)

Piirretään kuvioon uudet apuviivat.

Muodostetaan uusi yhtälö kuviosta, jossa kahden ympyrän säteet muodostavat ympyrän halkaisijan, jonka pituus on 10.

y + y + x = 5 + 5

Lasketaan:

2y + x = 10

Sijoitetaan saatu yhtälö aiemmin muodostettuun yhtälöön:

2√(10x - x2) + x = 10

Siirretään x yhtäläisyysmerkin oikealle puolelle:

2√(10x - x2) = 10 - x

Korotetaan toiseen potenssiin, jotta päästään eroon neliöjuuresta:

(2√(10x - x2))2 = (10 - x)2

Lasketaan:

22√(10x - x2)2 = (10 - x)(10 - x)
4(10x - x2) = 100 - 20x + x2
40x - 4x2 = 100 - 20x + x2

Siirretään yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella oleva lauseke oikealle puolelle:

0 = 100 - 20x + x2 - 40x + 4x2

Lasketaan:

0 = 100 - 60x + 5x2

Kaikki yhtälössä olevat luvut ovat viidellä jaollisia, joten supistetaan yhtälö:

0 = 20 - 12x + x2

Lasketaan:

0 = (x - 10)(x - 2)

Saadusta yhtälöstä voidaan nyt päätellä x:n arvo, joka on joko

0 = x - 10

tai

0 = x - 2

Ensimmäisestä yhtälöstä x - 10 voidaan päätellä, että x ei ole 10, koska sen pitää olla pienempi kuin kahden ympyrän säde, joka on 10. Näin ollen jäljelle jää jälkimmäinen yhtälö 0 = x - 2, josta saadaan tulos x = 2.

Koska tehtävässä kysyttiin neliön pinta-alaa, saadaan se laskemalla:

22 = 4

Neliön pinta-ala on siis 4 cm2.

Julkaistu Wednesdayna 3.4. klo 14:30 avainsanoilla matematiikka ja pulmat.

Edellinen
Neliön ala - osa 1
Seuraava
Näistä asioista Eurooppa tunnetaan